Question

15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=$\sqrt{15}$，sinA=$\frac{1}{4}$．
（1）若cosB=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，求b的大小；
（2）若b=4a，求c的大小及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可得解b的大小．
（2）利用大边对大角可得$0＜A＜\frac{π}{2}$，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合余弦定理可求c，根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）∵$cosB=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，0＜B＜π，
∴$sinB=\sqrt{1-cosB}=\frac{2}{3}$，…（2分）
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，a=$\sqrt{15}$，sinA=$\frac{1}{4}$．…（3分）
∴$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{15}×\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{4}}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$．…（5分）
（2）∵b=4a=$4\sqrt{15}$，
∴b＞a，
∴$0＜A＜\frac{π}{2}$，…（6分）
∵$sinA=\frac{1}{4}$，
∴$cosA=\sqrt{1-sinA}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（8分）
∵a²=b²+c²-2bccosA，…（9分）
∴$15=16×15+{c^2}-2×4\sqrt{15}c×\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，即c²-30c+15²=0…（10分）
解得c=15，…（11分）
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×4\sqrt{15}×15×\frac{1}{4}=\frac{15}{2}\sqrt{15}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．