Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，且点G为△ABC的重心，若sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，且S_△ABC=2$\sqrt{3}$，则|AG|的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理化简已知可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=8，再利用（2AD）²+a²=2（b²+c²），结合基本不等式确定AD²的最小值，利用AG=2GD．即可求出AG的最小值．

解答 解：∵sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，
∴由正弦定理可得，a²=b²+c²+bc，①
∴由余弦定理可得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°，
∵S_△ABC=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
∴bc=8，
∵AD是BC边上的中线，
∴由余弦定理可得：（2AD）²+a²=2（b²+c²）②，
∴由①②可得：4AD²=b²+c²-bc≥bc=8，
∴AD的最小值是$\sqrt{2}$，
∵点G为△ABC的重心，AG=2GD．
∴AG的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理、余弦定理是解题的关键，属于中档题．