Question

12．在△ABC中，角A、B、C所对的边依次为a、b、c，bc=lg4+2lg5+3，且sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求△ABC的面积；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的运算性质求出bc的值，再根据二倍角公式求出cosA、sinA的值，计算三角形的面积即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式，即可求出a²的取值范围，从而得a的取值范围．

解答 解：（1）△ABC中，bc=lg4+2lg5+3=lg4+lg5²+3=lg（4×25）+3=5，
∴bc=5，
又sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cosA=1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-2×${（\frac{\sqrt{5}}{5}）}^{2}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4}{5}$=2；
（2）∵bc=5，
由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc×$\frac{3}{5}$≥2bc-$\frac{6}{5}$bc=$\frac{4}{5}$bc=$\frac{4}{5}$×5=4，
当且仅当b=c=$\frac{5}{2}$时取“=”；
∴a的取值范围a≥2．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用以及三角形的面积计算问题，解题的关键是求出bc的值．