Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ（其中a∈R）展开式中有且只有第六项二项式系数最大，且展开式中的常数是180，求a的值．

Answer 1

分析 如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，根据常数项，即可求出a的值．

解答 解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数相等且最大，如果n是偶数，那么中间项的二次项系数最大．
∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ（其中a∈R）展开式中有且只有第六项二项式系数最大，
∴n=10，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）¹⁰其的通项为C₁₀^ra^r${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令10-5r=0，
解得r=2，
∴C₁₀²a²=180，
解得a=±2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．