Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$=3b，且△ABC的周长为6．
（1）求b的值；
（2）若B=$\frac{π}{6}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理与三角恒等变换，进行化简得出三边成等差数列，再结合周长即可求出b的值；
（2）根据（1）的结论，写出△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB，利用基本不等式即可求出面积的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$=3b，
由正弦定理得2sinAcos²$\frac{C}{2}$+2sinCcos²$\frac{A}{2}$=3sinB，
即2sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+2sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=3sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得：a+c=2b；
△ABC的周长为a+b+c=6
∴b=2；
（2）∵B=$\frac{π}{6}$，b=2，∴a+c=4，
∴△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{4}$ac≤$\frac{1}{4}$×${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$×${（\frac{4}{2}）}^{2}$=1，
当且仅当a=c=2时取“=”，
∴△ABC的最大值为1．

点评 本题考查了正弦定理与三角恒等变换的应用问题，也考查了等差数列与基本不等式的应用问题，是综合性题目．