Question

19．已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1））处的切线与直线y=x垂直．
（1）求函数g（x）=f（x）+2lnx在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：f（x）＞-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得m=-2，求得g（x）的导数，可得单调区间和极值、最值，讨论t与极值点的大小，运用单调性即可得到所求最小值；
（2）由题意可得0小于h（x）=（x-2）lnx+1的最小值．求出h（x）的导数，求得极小值点，且为最小值点，运用函数的性质可得最小值的范围大于0，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=（x+m）lnx的导数为f′（x）=lnx+$\frac{x+m}{x}$，
可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1+m，
由切线与直线y=x垂直，可得1+m=-1，解得m=-2，
函数g（x）=f（x）+2lnx=xlnx，g′（x）=1+lnx，
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{e}$，
当0＜t≤$\frac{1}{e}$时，函数g（x）在[t，t+1]处的最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
当t＞$\frac{1}{e}$时，函数g（x）在[t，t+1]递增，即有最小值为g（t）=tlnt；
（2）证明：f（x）＞-1即为（x-2）lnx+1＞0恒成立，
即有0小于h（x）=（x-2）lnx+1的最小值．
由h（x）的导数h′（x）=lnx+$\frac{x-2}{x}$，
可得lnx，-$\frac{2}{x}$在x＞0递增，又h（1）=h（2）=1＞0，
设lnx+$\frac{x-2}{x}$=0的解为x₀，设为最小值点且x₀∈（1，2），
即有lnx₀=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
h（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1=1-$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}}{{x}_{0}}$=5-（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$），
由x₀∈（1，2），可得h（x₀）∈（0，1），
则（x-2）lnx+1＞0恒成立，即f（x）＞-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数求得导数和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．