Question

2．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$，则z=x+2y+6的取值范围是[3，11]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y+6得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
平移直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3经过点A时，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-1，3），
代入目标函数z=x+2y+6得z=11．
即目标函数z=2x+y的最大值为6．
当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3经过点B时，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-1，-1），
代入目标函数z=x+2y+6得z=3．
即目标函数的最小值为3．
目标函数z=x+2y+6的取值范围是[3，11]．
故答案为：[3，11]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．