Question

12．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若$\frac{sinB-sinA}{sinC}$=$\frac{{\sqrt{3}a+c}}{a+b}$，则角B的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{5π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知可得c²+a²-b²=-$\sqrt{3}$ac，由余弦定理可得cosB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：sinB=$\frac{b}{2R}$，sinA=$\frac{a}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
∵$\frac{sinB-sinA}{sinC}$=$\frac{{\sqrt{3}a+c}}{a+b}$，可得：$\frac{b-a}{c}$=$\frac{{\sqrt{3}a+c}}{a+b}$，整理可得：c²+a²-b²=-$\sqrt{3}$ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{5π}{6}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．