Question

1．如图．矩形ABCD中，4BC=3AB，E为矩形ABCD所在平面内一点，若$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{BD}$且$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CE}$，则λ=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{7}{25}$
• C． $\frac{8}{25}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由条件便可分别以BC，BA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并根据条件设AB=4，从而BC=3，这样即可求出A，B，C，D四点的坐标，并设E（x，y），从而可以由$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{BD}$可得$\left\{\begin{array}{l}{x-3=3λ}\\{y=4λ}\end{array}\right.$（1），而根据$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{CE}$可得到x（x-3）+y（y-4）=0（2），这样由（1）（2）联立便可求出λ的值．

解答 解：根据条件，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=4，则：

B（0，0），A（0，4），C（3，0），D（3，4）；$\overrightarrow{BD}=（3，4）$；
设E（x，y），$\overrightarrow{AE}=（x，y-4），\overrightarrow{CE}=（x-3，y）$，$\overrightarrow{BD}=（3，4）$；
∴由$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{BD}$得，（x-3，y）=λ（3，4）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=3λ}\\{y=4λ}\end{array}\right.$（1）；
∵$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{CE}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}=0$；
即x（x-3）+y（y-4）=0，带入（1）得：
（3λ+3）3λ+4λ（4λ-4）=0；
解得$λ=\frac{7}{25}$，或λ=0（舍去）．
故选：B．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．