Question

11．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，z=（x+1）²+（y-1）²的最大值是M，最小值是m，则M-m=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 画出不等式组表示的平面区域，z=（x+1）²+（y-1）²的几何意义为区域A内的点（x，y）与定点P（-1，1）的距离的平方．由图象可得P到直线x-y+1=0的距离最小，运用点到直线的距离公式，可得m；P到O的距离最大，运用两点的距离公式即可得到M，进而得到M-m．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域三角形区域A，
z=（x+1）²+（y-1）²的几何意义
为区域A内的点（x，y）与定点P（-1，1）的距离的平方．
由图象可得P到直线x-y+1=0的距离最小，且为$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得m=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$；
又P到O的距离最大，且为$\sqrt{2}$，可得M=（$\sqrt{2}$）²=2．
即有M-m=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查不等式组表示的平面区域，以及目标函数的最值的求法，注意运用两点的距离公式，考查数形结合的思想方法，属于中档题．