Question

19．在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）在曲线y=x²（x＞0）上，已知A（0，-1）P_n（${x}_{0}^{n}$，${y}_{0}^{n}$），n∈N，记直线AP_n的斜率为k_n．
（1）若k₁=2，求P₁的坐标；
（2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

Answer 1

分析 （1）运用两点的斜率公式，可得$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2，解方程可得P₁的坐标；
（2）设k₁=2p（p∈N^*），运用直线 的斜率公式，求得x₀，再求k_n，运用二项式定理，讨论n为偶数或奇数，即可得证．

解答 解：（1）由k₁=2，可得$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2，
解得x₀=1，y₀=1，则P₁（1，1）：
（2）证明：设k₁=2p（p∈N^*），即$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2p，
解得x₀=p±$\sqrt{{p}^{2}-1}$，
由y₀=x₀²，可得k_n=$\frac{{{y}_{0}}^{n}+1}{{{x}_{0}}^{n}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2n}+1}{{{x}_{0}}^{n}}$=x₀ⁿ+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{n}}$，
当x₀=p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$时，k_n=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+$\frac{1}{（p+\sqrt{{p}^{2}-1}）^{n}}$
=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+（p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ；
同理当x₀=p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$时，k_n=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+（p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ．
①当n=2m（m∈N^*），k_n=2$\sum_{k=0}^{m}$${C}_{n}^{2k}$p^n-2k（p²-1）^k，即有k_n为偶数；
②当n=2m+1（m∈N^*），k_n=2$\sum_{k=0}^{m}$${C}_{n}^{2k}$p^n-2k（p²-1）^k，即有k_n为偶数．
综上可得，k_n为偶数．

点评 本题考查二项式定理的运用，直线的斜率公式的运用，以及点满足抛物线的方程，考查分类讨论和化简整理的运算能力，属于难题．