Question

如图,四棱柱中,.为平行四边形,, , 分别是与的中点.

(1)求证:;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

(1)见解析 (2)

【解析】

试题分析：(1) 先证明△ADE为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE⊥DE ，CE⊥DD1 ，最后得到CE⊥平面DD1E, 即可证明出CE⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA1分别为轴,轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量，，再利用夹角公式求出二面角的平面角的余弦值.

(1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE为正△

在△CDE中,由余弦定理可求CE=.

又.由勾股定理逆定理知CE⊥DE

又DD1⊥平面ABCD, CE平面ABCD. ∴CE⊥DD1

∴CE⊥平面DD1E, 又DF平面DD1E. ∴CE⊥DF.

(2)以直线AB, AA1分别为轴,轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),

D1(), C

可求平面AEF的一个法向量为

平面CEF的一个法向量为

∴平面角满足

又为纯角 ∴

注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.

考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式.