Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（Ⅰ） 求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为当x＞0时，f（x）＞1，所以欲证对任意的x∈R，恒有f（x）＞0，所以只需证明x小于等于0时，恒有f（x）＞0即可．因为对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），可以令a=b=0，就能求出f（0）的值，令ax，b=-x，就能判断f（-x）的符号．
（Ⅱ）根据已知，函数对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），可把要解的不等式f（x）•f（2x-x²）＞1化为f（-x²+3x）＞1，再借助函数的单调性解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令a=x，b=-x则 f（0）=f（x）f（-x）∴f（-x）=

1

f(x)

由已知x＞0时，f（x）＞1＞0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（-x）=

1

f(x)

＞0
又x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0
（Ⅱ）当b＞0时，有a+b＞b，有f（a+b）-f（a）=f（a）f（b）-f（a）=f（a）（f（b）-1）
又由当x＞0时，f（x）＞1，
则f（a+b）-f（a）＞0，
故f（x）在R上递增；
f（x）•f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）
又1=f（0），f（x）在R上递增
∴由f（3x-x²）＞f（0）得：3x-x²＞0∴0＜x＜3

点评：本题主要考查了赋值法在求函数值，证明函数的性质中的应用，以及利用函数单调性解不等式．