Question

【题目】已知椭圆（）的左右焦点分别为，，已知其离心率为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，探究是否为定值？如果为定值，请求出该定值；如果不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由见解析.

【解析】

（1）根据离心率为，且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）利用椭圆定义可得，设直线，的方程分别为，，求得， ，代入化简即可得结果.

（1）由题可知：，，可得

，，所该椭圆的方程为；

（2）如图，

由（1）问可知，，又因为，

所以，即，

所以，于是，

由点在椭圆上，可知，

可得.同理

所以

设直线，的方程分别为，，，，，

则

所以

同理得，

可得，，

，即为定值.