Question

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

（1）； （2）的值是定值，且定值为．

【解析】

试题分析：（1）椭圆右焦点的坐标为，点的坐标为，由可得参数方程， 消参后可得点的轨迹的方程；

（2） 设直线的方程为，、，求出和．

即可推出是定值.

试题解析：【解析】
（1）椭圆右焦点的坐标为， 1分

．，由，得. 3分

设点的坐标为，由，有，

代入，得. 5分

（2）（法一）设直线的方程为，、，

则，. 6分

由，得， 同理得． 8分

，，则. 9分

由，得，. 11分

则. 13分

因此，的值是定值，且定值为. 14分

（法二）①当时， 、，则， ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

. 7分

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得. 10分

由，得，． 11分

则. 13分

因此，的值是定值，且定值为. 14分

考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与抛物线的位置关系；3、平面向量的坐标运算.