【题目】已知函数,其中
,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)当且
时.
①若有两个极值点
,
(
),求证:
;
②若对任意的,都有
成立,求正实数t的最大值.
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【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值;
(3)若点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
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【题目】已知直线的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,
正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若点是曲线
上的动点,求
到直线
距离的最小值,并求出此时
点坐标.
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【题目】某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在
内),得到如图所示的频率分布直方图,其中
.
(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).
(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.
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【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)圆是以
为直径的圆,一直线
与圆
相切,并与椭圆交于不同的两点
、
,当
,且满足
时,求
的面积
的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
过点
,
,
分别为椭圆
的右下顶点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆
内,满足直线
,
的斜率乘积为
,且直线
,
分别交椭圆
于点
,
.
①若,
关于
轴对称,求直线
的斜率;
②若和
的面积分别为
,求
.
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