Question

已知函数f（x）=2

3

sin2

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

-

3

，
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，求函数f（x）的最值及相应的x．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可求出f（x）的单调递减区间；
（2）先求内层函数的值域，再利用正弦函数的图象和性质计算函数f（x）的最大值及相应的x值即可．

解答： 解：（1）解：函数f（x）可化简为：
2

3

sin2

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

-

3

=2

3

×

1-cosx

2

+sinx-

3

=sinx-

3

cosx．
即：f(x)=2sin(x-

π

3

)，
由2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，可得

5π

6

+2kπ≤x≤

11π

6

+2kπ；k∈Z
故f（x）的单调递减区间为[

5π

6

+2kπ，

11π

6

+2kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，得x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]．
故有：f(x)max=f(

π

2

)=1，f(x)min=f(-

π

6

)=-2．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的单调性及其求法，以及正弦函数的定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．