Question

20．已知抛物线方程为x²=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为$\frac{32}{3}{p^2}$，求直线AB的斜率k．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；
（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．

解答 解：（1）设直线AB方程为$y=kx+\frac{p}{2}，A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}）$，
联立直线AB与抛物线方程
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx-p²=0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂=x₁x₂+（kx₁+$\frac{p}{2}$）（kx₂+$\frac{p}{2}$）
=（1+k²）x₁x₂+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$（x₁+x₂）
=（1+k²）（-p²）+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$•2pk=-$\frac{3}{4}$p²；
（2）由x²=2py，知$y'=\frac{x}{p}$，
可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为$\frac{x_1}{p}，\frac{x_2}{p}$，
即有AM的方程为$y-{y_1}=\frac{x_1}{p}（x-{x_1}）$，BM的方程为$y-{y_2}=\frac{x_2}{p}（x-{x_2}）$，
解得交点$M（pk，-\frac{p}{2}）$，
则${k_{MF}}=-\frac{1}{k}$，知直线MF与AB相互垂直．
由弦长公式知，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{p}^{2}{k}^{2}+4{p}^{2}}$=2p（1+k²），
用$-\frac{1}{k}$代k得，$\left|{CD}\right|=2p（\frac{1}{k^2}+1）$，
四边形ACBD的面积$S=2{p^2}（2+{k^2}+\frac{1}{k^2}）=\frac{32}{3}{p^2}$，
依题意，得${k^2}+\frac{1}{k^2}$的最小值为$\frac{10}{3}$，
根据$f（x）=x+\frac{1}{x}\;（x＞0）$的图象和性质得，k²=3或${k^2}=\frac{1}{3}$，
即$k=±\sqrt{3}$或$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，主要是相切的条件，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．