Question

15．设直线l与抛物线x²=2y交于A，B两点，与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄．若OA⊥OB．
（Ⅰ）是否存在实数t，满足k₁+k₂=t（k₃+k₄），并说明理由；
（Ⅱ）求△OCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，直线与抛物椭圆分别联立，利用韦达定理，即可得出结论；
（Ⅱ）求出|CD|，O到直线CD的距离，可得△OCD面积，换元，利用基本不等式求△OCD面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
直线代入抛物线的方程，得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2b，△=4k²+8b＞0
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，所以b=2；
联立直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴x₃+x₄=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，△′＞0得${k}^{2}＞\frac{1}{4}$．
∴k₁+k₂=k，k₃+k₄=-6k，
∵k₁+k₂=t（k₃+k₄），
∴t=-$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$
∵O到直线CD的距离d-$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$|CD|d=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$，
设$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t＞0，则S_△OCD=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$≤$\sqrt{3}$，
t=2，即k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，△OCD面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．