Question

5．上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km．已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤500）．
（1）求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系，并求该函数的定义域；
（2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？

Answer 1

分析 （1）依题意要明确三点：1、列车运行的总费用由两部分组成，即能源费用及其余费用，2、为了求出能源费用，还必须求出列车每小时使用的能源费用与列车速度的立方成正比的比例系数，3、要注意实际背景下的函数定义域，以获得具有实际意义的答案．
（2）利用基本不等式求出函数的最小值，注意定义域．

解答 解：（1）设能源费用每小时是q千元，车速是vkm/h，依题意有q=kv³（k为比例系数），
将v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为y=f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$（0＜v≤C）（C为常数，0＜C≤500）．
（2）因为f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$，
所以f′（x）=2.8×10^-6v-$\frac{179.2}{{v}^{2}}$=0，v=400
所以0＜C≤400，函数在（0，400]上单调递减，v=C时，运行全程所需的总费用最低；
400≤C≤500时，v=400，运行全程所需的总费用最低．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了利用导数知识求函数的最值，属于中档题．