Question

16．过抛物线x²=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB的面积为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得A的坐标（-4$\sqrt{2}$，4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得B的坐标，由△OAB的面积为$\frac{1}{2}$|OF|•|x_A-x_B|，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线x²=8y的焦点F（0，2），准线为y=-2，
由抛物线的定义可得|AF|=y_A+2=6，
解得y_A=4，可设A（-4$\sqrt{2}$，4），
设B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$），由A，F，B共线可得，
k_AF=k_BF，即$\frac{4-2}{-4\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}}{8}-2}{m}$，
解得m=2$\sqrt{2}$（-4$\sqrt{2}$舍去），
即有B（2$\sqrt{2}$，1），
则△OAB的面积为$\frac{1}{2}$|OF|•|x_A-x_B|=$\frac{1}{2}$•2•|-4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$|=6$\sqrt{2}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．