Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且椭圆上的点到点F的距离最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且|AB|=$\frac{24}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，a-c=1，由a，c，b的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在和存在，设直线的方程y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可得c=1，
椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1，
代入椭圆方程，解得y=±$\frac{3}{2}$，则|AB|=3不成立；
设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{24}{7}$，
即为$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24}{7}$，解得k=±1，
则直线l的方程为y=±（x+1）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．