Question

13．已知函数f（x）=x（1+m|x|），关于x的不等式f（x）＞f（x+m）的解集记为T，若区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]⊆T，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，0）
• B． （$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，0）
• C． （-∞，$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$）
• D． （$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，0）∪（0，$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得，当m=0，显然不满足条件；在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x-m）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方当a=0或 a＞0时，检验不满足条件．当a＜0时，应有f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$），化简可得 a²-a-1＜0，由此求得a的范围

解答 解：f（x）=x（1+m|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m{x}^{2}，x≥0}\\{x-m{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$
①若m=0，则不等式即f（x）＞f（x ），显然不成立．
②若m＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m{x}^{2}，x≥0}\\{x-m{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，在R上是增函数，如右图所示：
由f（x）＞f（x+m），可得x＞x+m，m＜0，故m无解．
③若m＜0，函数y=f（x+m）的图象是把函数y=f（x）的图象向右平移-m个单位得到的，
由题意可得，当x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，函数y=f（x+m）的图象在函数 y=f（x）的图象的下方，
如下图所示：

只要f（-$\frac{1}{2}$-m）＜f（-$\frac{1}{2}$）即可，
即m（-$\frac{1}{2}$-m）²+（-$\frac{1}{2}$-m）＜-m（-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
即 m²-m-1＜0，求得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
综合可得，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0，
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题．