Question

10．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A-BCD的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{125}{12}$π
• B． $\frac{125}{9}$π
• C． $\frac{125}{6}$π
• D． $\frac{125}{3}$π

Answer 1

分析 矩形ABCD中，由AB=4，BC=3，DB=AC=5，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O 因此球半径R=2.5，由此能求出四面体ABCD的外接球的体积．

解答 解：矩形ABCD中，
∵AB=4，BC=3，
∴DB=AC=5，
设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，
球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，
也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O
因此球半径R=2.5，
四面体ABCD的外接球的体积：
V=$\frac{4}{3}$×π×（2.5）³=$\frac{125π}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查四面体ABCD的外接球的体积的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．