Question

20．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤1的解集为{x|1≤x≤3}，求实数a的值；
（2）若a=2，且存在实数x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式，根据对应关系得到关于a的方程组，求出a的值即可；（2）法一：通过讨论x的范围，求出g（x）的最小值从而求出m的范围即可；法二：根据绝对值不等式的意义求出g（x）的最小值，求出m的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）≤1得|x-a|≤1，
解得a-1≤x≤a+1．-------（2分）
又已知不等式f（x）≤1的解集为{x|1≤x≤3}，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-1=1\\ a+1=3\end{array}\right.$解得a=2．-------（4分）
（2）法一：当a=2时，f（x）=|x-2|，
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-3}\\{5，-3≤x≤2}\\{2x+1，x＞2}\end{array}\right.$---（6分）
所以当x＜-3时，g（x）＞5；  当-3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．---（8分）
存在实数x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，
则m≥[f（x）+f（x+5）]_min，
所以m的取值范围为[5，+∞）-------（10分）
法二：当a=2时，f（x）=|x-2|，
设g（x）=f（x）+f（x+5），
由|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5（当且仅当-3≤x≤2时等号成立），
得g（x）的最小值为5．------（8分）
存在实数x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，
则m≥[f（x）+f（x+5）]_min，
从而m的取值范围为[5，+∞）-----（10分）

点评 本题考查了函数的最值问题，考查解绝对值不等式问题以及分类讨论思想，是一道中档题．