Question

20．如图，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面FBC；
（2）求钝二面角B-FC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AB，AF⊥BC，AF⊥BF，由此能证明AF⊥平面FBC．
（2）分别以AD、AB、AE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出钝二面角B-FC-D的大小．．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
∵平面ABFE⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ABFE，即AF⊥BC，
在△AFB中，AF=$\sqrt{2}$，AB=2，BF=$\sqrt{2}$，
∴AF²+BF²=AB²，∴AF⊥BF，
∵BF∩BC=B，∴AF⊥平面FBC．
解：（2）分别以AD、AB、AE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，2，0），（0，0，1），B（0，2，0），F（0，1，1），
∵$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），
设平面CDEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵AF⊥平面FBC，∴$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{AF}$=（0，1，1）是平面BCF的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
∵二面角N-FC-D的平面角为钝角，
∴钝二面角B-FC-D的大小为120°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查钝二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．