Question

13．设a＞1，函数f（x）=log₂（x²+2x+a），x∈[-3，3]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最大值为5，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t（x）=x²+2x+a，x∈[-3，3]，根据复数函数的单调性法则即可求出f（x）的单调区间，
（2）根据函数的单调性可知f（x）在x=-1处取得最小值，在x=3取取最大值，先求出a的值，即可求出答案．

解答 解：（1）当a＞1时，知x²+2x+1＞0对任意的x∈[-3，3]，
令t（x）=x²+2x+a，x∈[-3，3]，
则y=log₂t，
且t（x）=（x+1）²+a-1，x∈[-3，3]，
∴t（x）在[-3，-1]上为减函数，在（-1，3]为增函数，
∵y=log₂t为增函数，
∴f（x）=log₂（x²+2x+a）的两个单调区间为[-3，-1]，（-1，3]，
且f（x）在[-3，-1]为减函数，在（-1，3]为增函数；
（2）由（1）的单调性知，f（x）在x=-1处取得最小值，在x=3取得最大值，
∴f（x）_max=f（3）=log₂（a+15）=5，
解得a=17，
∴f（x）_min=f（-1）=log₂16=4．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．