Question

4．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+x-$\frac{1}{3}$（a∈R）．
（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（2）当a≤$\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在[0，2]上的零点个数即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（x-1）（x-$\frac{1}{a}$），
∵a＜0，∴$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极小值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{-{2a}^{2}+3a-1}{{6a}^{2}}$，f（x）_极大值=f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1）；
（2）f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1），f（2）=$\frac{1}{3}$（2a-1），f（0）=-$\frac{1}{3}$＜0，
a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，1]递增，在[1，2]递减，
故f（0）=-$\frac{1}{3}$＜0，f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1）＞0，f（2）=$\frac{1}{3}$（2a-1）≤0，
∴f（x）在[0，1]，（1，2]上各有1个零点，
即在[0，2]上2个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．