Question

16．已知函数f（x）=x²+2ax+blnx在（1，f（1））处的切线方程为x-y+1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²．
①若函数y=g（x）上的点都在第一象限，求实数m的取值范围；
②求证：对任意的自然数n（n≥2），不等式$\sqrt{2}$•$\root{3}{3}$•$\root{4}{4}$•$\root{5}{5}$…$\root{n}{n}$＜e${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$成立（其中e=2.71828…为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由切线的方程可得f（1）=2，f′（1）=1，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）求得g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²=x²+m（x+lnx）
①讨论当m=0，m＞0，m＜0，结合条件，运用参数分离，构造函数求得导数，运用单调性，可得m的范围；
②由①知，当m=-1时，g（x）=x²+m（x+lnx）≥0在x²-x≥lnx上恒成立，即x²-x≥lnx在$\frac{lnx}{x}≤x-1$上恒成立，即$\frac{lnx}{x}≤x-1$，分别令x=2，3，…，n-1，累加，结合对数的运算性质，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=x²+2ax+blnx，导数$f'（x）=2x+2a+\frac{b}{x}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=1\\ f（1）=2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2a+b+2=1\\ 1+2a=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$，
则f（x）=x²+x-2lnx；
（2）g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²=x²+m（x+lnx）
①当m=0时，g（x）=x²，因为x＞0，g（x）=x²＞0满足题意；
当m＞0时，x∈（0，1）时，lnx＜0，mlnx＜0，
从而“?x＞0，g（x）=x²+m（x+lnx）＞0”不成立；
当m＜0时，由g（x）=x²+m（x+lnx）＞0，得$\frac{1}{m}＜-（\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x^2}）$，
设$h（x）=-（\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x^2}）$，则$h'（x）=\frac{x-1}{x^3}+\frac{2lnx}{x^3}$，当x=1时，h'（x）=0，
则当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）在x＞1上递减，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）在h（x）≥h（1）=-1上递增，
所以h（x）≥h（1）=-1，即$\frac{1}{m}＜-1$，所以-1＜m＜0
综上所述，实数m的取值范围是-1＜m≤0；
②由①知，当m=-1时，g（x）=x²+m（x+lnx）≥0在x²-x≥lnx上恒成立，
即x²-x≥lnx在$\frac{lnx}{x}≤x-1$上恒成立，即$\frac{lnx}{x}≤x-1$，
当且仅当$\frac{ln2}{2}＜1，\frac{ln3}{3}＜2，\frac{ln4}{4}＜3，…\frac{lnn}{n}＜n-1$时等号成立．
所以有$\frac{ln2}{2}＜1，\frac{ln3}{3}＜2，\frac{ln4}{4}＜3，…\frac{lnn}{n}＜n-1$，
叠加得$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{3}+\frac{ln4}{4}+…+\frac{lnn}{n}＜1+2+3+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$，
即$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{3}+\frac{ln4}{4}+…+\frac{lnn}{n}＜\frac{n（n-1）}{2}$
可得$ln（\sqrt{2}•\root{3}{3}•\root{4}{4}•\root{5}{5}…\root{n}{n}）＜\frac{n（n-1）}{2}$
所以$\sqrt{2}•\root{3}{3}•\root{4}{4}•\root{5}{5}…\root{n}{n}＜{e^{\frac{n（n-1）}{2}}}$得证．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查分类讨论的思想方法和综合法证明不等式的方法，注意运用累加法和对数的性质，本题也可运用数学归纳法证明，属于中档题．