Question

6．已知单调递减的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄是等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 根据题意得出方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28①}\\{a（q+{q}^{3}）=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）②}\end{array}\right.$求解得出q=$\frac{1}{2}$或q=2，单调递减得出：q=$\frac{1}{2}$，根据通项公式求解即可．
（2）根据对数运算得出b_n=log₂a_n=6-n，运用裂项法$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6-n）（5-n）}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$
求解得出S_n即可．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28①}\\{a（q+{q}^{3}）=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）②}\end{array}\right.$
由②×7-①得：2q²-5q+2=0
所以q=$\frac{1}{2}$或q=2
因为等比数列{a_n}为递减数列，
所以q=$\frac{1}{2}$，a₁=32，即a_n=32×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^6-n
（2）b_n=log₂a_n=6-n，
因为$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6-n）（5-n）}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$
所以S_n=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{6-n}$$-\frac{1}{7-n}$$+\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{5}$=$\frac{n}{25-5n}$（n＜5）．

点评 本题综合考查了等比数列的性质，公式，方程组的方法求解，解题时要注意等比数列和等差数列的性质的灵活运用，裂项法求解数列的和，属于中档题．