Question

对于函数f（x）=e^x-lnx，下列结论正确的一个是（　　）

• A、f（x）有极小值，且极小值点x₀∈（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）有极大值，且极大值点x₀∈（0，

  1

  2

  ）
• C、f（x）有极小值，且极小值点x₀∈（

  1

  2

  ，1）
• D、f（x）有极大值，且极大值点x₀∈（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，判断导数根存在的区间，结合函数极值和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=e^x-

1

x

=

xex-1

x

，
设g（x）=xe^x-1，
g′（x）=（x+1）e^x，
当x＞0时，g′（x）=（x+1）e^x＞0．即g（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当x=

1

2

时，f′（

1

2

）=e

1

2

-

1

1 2

=

e

-2＜0，
∴f′（x）在（

1

2

，1）存在一个根，
则f（x）有极小值，且极小值点x₀∈（

1

2

，1），
故选：C

点评：本题主要考查函数极值的判断，求函数的导数，利用极值和导数之间的关系是解决本题的关键．