Question

3．已知圆C经过三个点A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点M（-4，-2）作圆C的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆的一般式方程，把三个点A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）的坐标代入，求得D、E、F的值，即可求得圆的方程．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可得出结论．

解答 解：（1）设圆C的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因为点A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）在所求的圆上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{17+4D+E+F=0}\\{45+6D-3E+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，
所以D=-2，E=6，F=-15，
所以圆C的方程为x²+y²-2x+6y-15=0，标准方程为（x-1）²+（y+3）²=25；
（2）直线的斜率不存在时，直线方程为x=-4，满足题意；
设切线方程为y+2=k（x+4），即kx-y+4k-2=0，
所以圆心到直线的距离d=$\frac{|k+3+4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
所以k=$\frac{12}{5}$，
所以直线方程为y=-2+$\frac{12}{5}$×（x+4）=$\frac{12}{5}x+\frac{38}{5}$，
综上所述，切线的方程为y=$\frac{12}{5}x+\frac{38}{5}$或x=-4．

点评 本题主要考查用待定系数法求圆的方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．