【题目】已知直线l:
1证明直线l经过定点并求此点的坐标;
2若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
3若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1)定点(﹣2,1)(2)k≥0;(3)见解析
【解析】
分析:(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,直线l过定点(-2,1);(2)要使直线l不经过第四象限,则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数,解出k的取值范围;
(3)先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求得面积的最小值.
(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,
故无论k取何值,直线l总过定点(﹣2,1).
(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则,
解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意,直线l: y=kx+2k+1,在x轴上的截距为﹣,在y轴上的截距为1+2k,
∴A(﹣,0),B(0,1+2k),
又﹣<0且1+2k>0,
∴k>0,故S=|OA||OB|=×(1+2k)
=(4k++4)≥(4+4)=4,
当且仅当4k=,即k=或-时,取等号,当k=-时直线过原点,不存在三角形,故舍掉.
此时直线方程为:
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【题目】已知等差数列和等比数列,其中的公差不为.设是数列
的前项和.若、、是数列的前项,且.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)若数列为等差数列,求实数;
(Ⅲ)构造数列,,,,,,,,,…,,,,,…,,…,
若该数列前项和,求的值.
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【题目】已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;
(2)证明:曲线C过定点;
(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.
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【题目】2017年3月14日,“共享单车”终于来到芜湖,共享单车又被亲切称作“小黄车”是全球第一个无桩共享单车平台,开创了首个“单车共享”模式.相关部门准备对该项目进行考核,考核的硬性指标是:市民对该项目的满意指数不低于,否则该项目需进行整改,该部门为了了解市民对该项目的满意程度,随机访问了使用共享单车的名市民,并根据这名市民对该项目满意程度的评分(满分分),绘制了如下频率分布直方图:
(I)为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因,该部门从评分低于分的市民中随机抽取人进行座谈,求这人评分恰好都在的概率;
(II)根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过考核,并说明理由.
(注:满意指数=)
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【题目】如图,四棱锥中,底面为矩形,侧面为正三角形,且平面 平面, 为中点, .
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若二面角的平面角大小满足,求四棱锥的体积.
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【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”,其余为“短纤维”)
纤维长度 | (0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) | [400,500] |
甲地(根数) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根数) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上统计数据,填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附:(1) ;(2)临界值表;
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若直线l的倾斜角为120°,求弦AB的长.
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【题目】春节期间,受烟花爆竹集中燃放影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表(单位:微克/立方米).
除夕18时PM2.5浓度 | 初一2时PM2.5浓度 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家庄 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
(Ⅰ)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;
(Ⅱ)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市,浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量y的分布列和数学期望;
(Ⅲ)记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM2.5浓度的方差分别为s12和s22 , 比较s12和s22的大小关系(只需写出结果).
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