【题目】已知等差数列和等比数列
,其中
的公差不为
.设
是数列
的前项和.若
、
、
是数列
的前
项,且
.
(Ⅰ)求数列和
的通项公式;
(Ⅱ)若数列为等差数列,求实数
;
(Ⅲ)构造数列,
,
,
,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,…,
,…,
若该数列前项和
,求
的值.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
或
;(Ⅲ)34.
【解析】试题分析:
(1)由题意列出方程组求得数列的首项
,公差
,则其通项公式为
,进一步即可求得数列
的通项公式为
(2)利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数列出方程组,求解方程组可得或
;
(3)结合题意分组求和得到关于m的方程,解方程讨论可得.
试题解析:
(Ⅰ)设等差数列的公差为
(
),由
、
、
是数列
的前
项,且
得,因为
,所以
,故
的通项公式为
;而
,
,所以等比数列
的公比
,
的通项公式为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因为数列
为等差数列,所以可设
,
,
,
所以即
对
总成立,不妨设
,
,
,
则对
总成立,取
,
,
得
,解得
,即
,
解得或
.令
.
当
时,
,因为
,所以
为等差数列;
当
时,
,因为
,所以
为等差数列.
综上,或
.
另解:由(Ⅰ)知,因为数列
为等差数列,所以
,
,
必成等差数列,所以
,即
,解得
或
.
令.
当
时,
,所以
为等差数列;
当
时,
,因为
,所以
为等差数列.
综上,或
.
(Ⅲ)设从到
各项的和为
,则
因为,所以
,因此
.
当时,
,当
时,
,所以
,可设
后面有
项,则
,所以
,
,因此
,即
的值为
.
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【题目】已知椭圆的方程为
,双曲线
的一条渐近线与
轴所成的夹角为
,且双曲线的焦距为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆
的左,右焦点,过
作直线
(与
轴不重合)交椭圆于
,
两点,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】已知函数的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数周期为
,当
时,方程
恰有两个不同的解,求实数
的取值范围.
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【题目】已知下列命题:
①意味着每增加一个单位,
平均增加8个单位
②投掷一颗骰子实验,有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件
③互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件
④在适宜的条件下种下一颗种子,观察它是否发芽,这个实验为古典概型
其中正确的命题有__________________.
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【题目】已知m>0, ,
.
(1) 若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2) 若m=5,“”为真命题,“
”为假命题,求实数x的取值范围.
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【题目】平面上,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,则有 (其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积);空间中,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,点E、F为射线PL上的两点,则有
=(其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积).
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【题目】已知直线l:
1
证明直线l经过定点并求此点的坐标;
2
若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
3
若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设
的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
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