Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2

3

，离心率为

3

3

，经过其左焦点F₁的直线l交椭圆C于P、Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）在x轴上是否存在一点M，使得

MP

•

MQ

恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据题意设出椭圆的方程，根据长轴2a的长和离心率e=

c

a

，列出方程组求出a与c的值，然后根据椭圆的性质求出b的值，把a与b的值代入设出的椭圆方程即可确定出椭圆C的方程；
（II）根据（I）求出的c的值写出椭圆左焦点F₁的坐标，假设在x轴上存在一点M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒为常数，分两种情况考虑：①当直线l与x轴不垂直时，设出过左焦点F₁的直线方程，以及P和Q两点的坐标，把所设的直线方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，然后表示出

MP

•

MQ

，把其中的纵坐标代换为横坐标，化简后将求出的两根之和与两根之积代入得到一个关系式，由此关系式与k的取值无关，得到关于t的式子为0，即可求出此时t的值，从而此时这个常数；②当直线l与x轴垂直时，求出P与Q两点的坐标，且求出t及

MP

•

MQ

的值，与①中求出的常数相等，综上，在x轴上存在一点M，使得

MP

•

MQ

恒为常数．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)．
由题意，得

2a=2 3 c a = 3 3

，解得

a= 3 c=1

，所以b²=2．（3分）
所求的椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（II）由（I）知F₁（-1，0）．
假设在x轴上存在一点M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒为常数．
①当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+1），P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．（6分）
所以x1+x2=-

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

．（7分）

MP

•

MQ

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=

(k2+1)(3k2-6)

2+3k2

-

(k2-t)•6k2

2+3k2

+k2+t2=

(6t-1)k2-6

2+3k2

+t2
=

(2t- 1 3 )(2+3k2)-(4t+ 16 3 )

2+3k2

+t2=t2+2t-

1

3

-

4t+ 16 3

2+3k2

．
因为

MP

•

MQ

是与k无关的常数，从而有4t+

16

3

=0，即t=-

4

3

．（10分）
此时

MP

•

MQ

=-

11

9

．（11分）
②当直线l与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为(-1，

2 3

3

)、(-1，-

2 3

3

)，
当t=-

4

3

时，亦有

MP

•

MQ

=-

11

9

．（13分）
综上，在x轴上存在定点M(-

4

3

，0)，使得

MP

•

MQ

恒为常数，且这个常数为-

11

9

．（14分）

点评：本题考查椭圆的应用，及平面向量的运算法则，考查了分类讨论的数学思想．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．