Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且2a_n是S_n+1与-2的等差中项，a₁=1，
（1）设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项式；
（3）求数列{a_n}的前n项和公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n+2-2a_n+12（a_n+1-2a_n），由b_n=a_n+1-2a_n，得b_n+1=2b_n，由此证明{b_n}是公比为2的等比数列，
（2）由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，又a₁=1，得a₂=5，从而得到bn=3•2n-1．设cn=

an

2n

，则c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

，将bn=3•2n-1，代入，得c_n+1-c_n=

3

4

，所以cn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

1

4

(3n-1)，由此求出an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
（3）n≥2时，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）+2，n=1也成立，由此能求出数列{a_n}的前n项和公式．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且2a_n是S_n+1与-2的等差中项，a₁=1，
∴S_n+1=4a_n+2，①，∴S_n+2=4a_n+1+2，②
②-①，得a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n，
变形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是公比为2的等比数列，
（2）∵S₂=a₁+a₂=4a₁+2，又a₁=1，∴a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴bn=3•2n-1．
设cn=

an

2n

，则c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

，
将bn=3•2n-1，代入，得c_n+1-c_n=

3

4

，
∴{c_n}是公差为

3

4

的等差数列，c1=

a1

2

=

1

2

，
∴cn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

=

1

4

(3n-1)，
∴an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
（3）∵an=(3n-1)•2n-1，
∴n≥2时，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）•2^n-1+2，
∵S₁=a₁=1也适合此公式，
∴数列{a_n}的前n项和公式为S_n=（3n-4）•2^n-1+2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要注意构造法的合理运用．