Question

给出下列命题：
①若向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，则A，B，P三点共线；
②若z•

.

z

+z+

.

z

=3，则复数z的对应点Z的在复平面内的轨迹是圆；
③设f（x）=f′（1）x²+2x，则f′（2）=-6；
④曲线y=x³+3x²-5过点M（1，-1）的切线只有一条；
⑤在一个二面角的两个面内部都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，-1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为

15

6

．其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型

分析：①将向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，化为

BP

=α

BA

，由向量共线定理，即可判断；
②设复数z=x+yi（x，y为实数），

.

z

=x-yi，将z•

.

z

+z+

.

z

=3，化简，即可判断轨迹；
③对f（x）=f′（1）x²+2x求导，令x=1，求出f′（1），令x=2，即可求出f′（2）；
④讨论M为切点、M不是切点，求出导数，列方程求出切线的斜率，即可判断；
⑤由空间向量的坐标运算，求出数量积和模，运用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：①若向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，则

OP

=α(

OA

-

OB

)+

OB

，即有

BP

=α

BA

，则A，B，P三点共线，故①对；
②设复数z=x+yi（x，y为实数），

.

z

=x-yi，则z•

.

z

+z+

.

z

=3，可化为x²+y²+2x-3=0，故复数z的对应点Z在复平面内的轨迹是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，故②对；
③由于f（x）=f′（1）x²+2x，则f′（x）=2f′（1）•x+2，f′（1）=2f′（1）+2，f′（1）=-2则f′（2）=2×（-2）×2+2=-6，故③对；
④曲线y=x³+3x²-5过点M（1，-1）的切线，若M为切点，则切线的斜率为3×1²+6=9，若M不为切点，设切点为（s，t），由于y′=3x²+6x，则3s²+6s=

t+1

s-1

，t=s³+3s²-5，解得s=-2，即切线的斜率为3×4-12=0，故切线有两条．故④错；
⑤设

m

=（0，-1，3），

n

=（2，2，4），则

m

•

n

=0-2+12=10，|

m

|=

10

，|

n

|=2

6

，故这个二面角的余弦值为

10

10 ×2 6

=

15

6

，故⑤对．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题考查向量的共线与三点共线的关系、复数的几何意义、导数的运算、曲线的切线问题、二面角的平面角的计算，属于基础题，也是易错题．