Question

已知函数f（x）=

1

2

m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+3+lnx
由题意知x＞0，f′（x）=-2+

1

x

=

-2x+1

x

，令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

时，
所以f（x）的增区间为（0，

1

2

）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+

1

x

，得f′（1）=-1，
知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一个实数根；
设g（x）=

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx，（x＞0）．
则g′（x）=

mx2-(m+1)x+1

x

=

(x-1)(mx-1)

x

，
①当m=1时，g′（x）=

(x-1)(x-1)

x

≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；
②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜

1

m

或x＞1，
由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＜0得

1

m

＜x＜1，
故g（x）在区间（0，

1

m

），（1，+∞）上单调递增，在（ 1，

1

m

）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；
③当0＜m＜1时，由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0得0＜x＜1或x＞

1

m

，
由g′（x）=＜0得1＜x＜

1

m

，
故g（x）在区间（0，1），（1，

1

m

）上单调递增，在（

1

m

，+∞）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；
∴由上述知：m=1．