Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高与BC边长相等，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{bc}$的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理与三角形的面积公式，化简$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{bc}$为C的三角函数，通过两角和的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出表达式的最大值．

解答 解：在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
所以 $\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{bc}$=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}}{bc}$，
因为a²=c²+b²-2bccosA，
所以：$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}}{bc}$=$\frac{2{a}^{2}+2bccosA}{bc}$，
△ABC中，BC边上的高与BC边的长相等，
所以：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$a²，
即bcsinA=a²，
∴$\frac{2{a}^{2}+2bccosA}{bc}$=$\frac{2bcsinA+2bccosA}{bc}$=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$．
则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{bc}$的最大值为：2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 本题考查余弦定理与三角形的面积公式的应用，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于中档题．