Question

4．给出下列四个命题：
①三点确定一个平面；
②三条两两相交的直线确定一个平面；
③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；
④两个相交平面把空间分成四个区域．
其中真命题的序号是③④（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；
②根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；
③根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；
④根据实际情况即可得出结论正确．

解答 解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；
对于②，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，∴②错误；
对于③，空间四点A、B、C、D不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：

当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，
所以满足条件的平面恰有7个，③正确；
对于④，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，∴④正确．
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考点平面的基本性质与推论的应用问题，也考查了空间图形的结构特征，解题的关键是熟练掌握平面的基本性质及公理，从而作出判断，是基础题目．