Question

椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂的斜率的取值范围是[-3，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  4

  ，

  3

  4

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  3

  4

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[

  3

  4

  ，1]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1可知其左顶点A₁（-2，0），右顶点A₂（2，0）．设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），代入椭圆方程可得

y02

x02-4

=-

3

4

．记直线PA₁的斜率为k₁，直线PA₂的斜率为k₂，则k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

，再利用已知给出的直线PA₂斜率的取值范围是[-3，-1]，即可解出．

解答： 解：由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1可知其左顶点A₁（-2，0），右顶点A₂（2，0）．
设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则得

y02

x02-4

=-

3

4

．
记直线PA₁的斜率为k₁，直线PA₂的斜率为k₂，则k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

∵直线PA₂斜率的取值范围是[-3，-1]，
∴直线PA₁斜率的取值范围是[

1

4

，

3

4

]
故选：A．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．