Question

2．已知O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}=（{sinα，1}），\overrightarrow{OB}=（{cosα，0}），\overrightarrow{OC}=（{-sinα，2}）$，点P满足$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$
（1）记函数$f（α）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}，α∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$，讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）可求出$\overrightarrow{AB}$的坐标，并设$\overrightarrow{OP}=（x，y）$，从而写出$\overrightarrow{BP}$的坐标，这样根据条件$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$即可求出x，y，从而求出$\overrightarrow{PB}=（sinα-cosα，1）$，并且$\overrightarrow{CA}=（2sinα，-1）$，进行向量数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式得出$f（α）=-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$，根据α的范围可求出$2α+\frac{π}{4}$的范围，进而判断出f（α）的单调性，并求出其值域；
（2）可写出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OC}$的坐标，根据O，P，C三点共线便可得出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OC}$的坐标关系，从而得出$sinα=\frac{4}{3}cosα$，进而求出$co{s}^{2}α=\frac{9}{25}$，可求出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（sinα+cosα，1）$，从而$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+1}$，这样便可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（cosα-sinα，-1）$，设$\overrightarrow{OP}=（x，y）$，则$\overrightarrow{BP}=（x-cosα，y）$；
∴由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$得，$\left\{\begin{array}{l}{cosα-sinα=x-cosα}\\{-1=y}\end{array}\right.$；
∴x=2cosα-sinα，y=-1；
∴$\overrightarrow{PB}=（sinα-cosα，1）$，$\overrightarrow{CA}=（2sinα，-1）$；
∴$f（α）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}$
=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=-（sin2α+cos2α）
=$-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$；
∵$α∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，∴$0＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$；
∴当$0＜2α+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{8}＜α≤\frac{π}{8}$时，f（α）单调递减；
当$\frac{π}{2}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，即$\frac{π}{8}＜α＜\frac{π}{2}$时，f（α）单调递增；
∴函数f（α）的单调递增区间为$（\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，单调递减区间为$（-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$；
∵$sin（2α+\frac{π}{4}）∈（-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$；
∴f（α）的值域为$[-\sqrt{2}，1）$；
（2）$\overrightarrow{OP}=（2cosα-sinα，-1）$，$\overrightarrow{OC}=（-sinα，2）$；
∴由O，P，C三点共线得，（2cosα-sinα）•2-（-sinα）•（-1）=0；
∴$sinα=\frac{4}{3}cosα$，带入sin²α+cos²α=1得：
$co{s}^{2}α=\frac{9}{25}$；
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+1}$
=$\sqrt{2+2sinαcosα}$
=$\sqrt{2+\frac{8}{3}co{s}^{2}α}$
=$\sqrt{2+\frac{24}{25}}$
=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

点评 本题考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的坐标运算，不等式的性质，正弦函数的单调性，以及复合函数的单调性的判断，熟悉正弦函数的图象，以及平行向量的坐标关系，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，根据$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}}$求向量长度的方法．