Question

9．（Ⅰ）函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（4）=2，求f（$\sqrt{2}$）的值；
（Ⅱ）已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）在[-1，1]上递增，求不等式f（x+$\frac{1}{2}$）+f（x-1）＜0
的解集．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）直接利用赋值法求得
（Ⅱ）由f（x）是[-1，1]上的奇函数得f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x），又f（x）在[-1，1]上递增$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$

解答 解：（Ⅰ）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2
∴2f（2）=2⇒f（2）=1
又∵f（2）=f（$\sqrt{2}•\sqrt{2}$）=f（$\sqrt{2}$）+f（$\sqrt{2}$）═
∴2f（$\sqrt{2}$）=1⇒f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$
（Ⅱ）由f（x）是[-1，1]上的奇函数得f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x）
又f（x）在[-1，1]上递增
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$解得$0≤x＜\frac{1}{4}$
∴不等式解集为[0，$\frac{1}{4}$）

点评 本题考查了抽象函数的赋值法，及抽象函数不等式的解法，属于基础题．