Question

4．已知函数f（x）=2^2x-2^x+1+3．
（1）若x∈[-1，2]，求f（x）的最大值；
（2）求f（x）在[m，0]的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用2^2x=（2^x）²，把看似不识的函数转化为f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．再利用的二次函数求解．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0时，则t∈[2^m，2]，结合函数h（t）的图象可知，∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

解答 解：∵f（x）=2^2x-2•2^x+3，令2^x=t，所以f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．
（1）若x∈[-1，2]，则$t∈[{\frac{1}{2}，4}]$，当t=4时，h（t）_max=h（4）=11．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0时，则t∈[2^m，1]，当0＜2^m≤1，结合函数h（t）的图象可知，h（t）在[2^m，]1上递减，
∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数．而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围．