Question

12．在△ABC中，点A（1，1），点B（3，3），点C在x轴上，当cos∠ACB取得最小值时，点C的坐标为（$\sqrt{6}$，0）．

Answer 1

分析 设C（x，0），则当cos∠ACB取得最小值时，tan∠ACB取得最大值．利用夹角公式，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设C（x，0），则当cos∠ACB取得最小值时，tan∠ACB取得最大值．
∵点A（1，1），点B（3，3），
∴tan∠ACB=$\frac{\frac{-1}{x-1}-\frac{-3}{x-3}}{1+\frac{-1}{x-1}•\frac{-3}{x-3}}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}-4}$，
由题意，x＞0，x+$\frac{6}{x}$≥2$\sqrt{6}$，即x=$\sqrt{6}$时，tan∠ACB取得最大值．
∴C（$\sqrt{6}$，0）．
故答案为（$\sqrt{6}$，0）．

点评 本题考查斜率的计算，考查夹角公式，基本不等式的运用，属于中档题．