Question

16．在△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos$\frac{C}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}$），当tanA•tanB=$\frac{1}{9}$时，则|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量模的定义和三角函数的化简即可求出答案．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos$\frac{C}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos$\frac{C}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}$）=$\frac{5}{4}$cos²$\frac{C}{2}$+cos²$\frac{A-B}{2}$
=$\frac{5}{8}$（cosC+1）+$\frac{1}{2}$[cos（A-B）+1]=-$\frac{5}{8}$cos（A+B）+$\frac{1}{2}$cos（A+B）+$\frac{9}{8}$
=-$\frac{5}{8}$（cosAcosB-sinAsinB）+$\frac{1}{2}$（cosAcosB+sinAsinB）+$\frac{9}{8}$=-$\frac{1}{8}$cosAcosB+$\frac{9}{8}$sinAsinB+$\frac{9}{8}$，
∵tanA•tanB=$\frac{1}{9}$，
∴sinAsinB=$\frac{1}{9}$cosAcosB，
∴|$\overrightarrow{a}$|²=$\frac{9}{8}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查了向量的模和三角形函数的化简和求值，关键是掌握二倍角公式，属于中档题