Question

5．已知函数f（x）=x²+alnx
（1）当a=-1时，求函数的单调区间和极值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得出f′（x），从而判断函数的单调性和极值，
（2）由f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，且f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，解不等式从而求出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时：f（x）=x²-lnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上单调递增，
∴f（x）的极小值是f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
（2）∵f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，
若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
则：f′（1）=2+a≥0，
∴a≥-2．

点评 本题考察了函数的单调性，极值问题，导数的应用问题，是一道中档题．