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(14分)如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的 底面为圆柱
底面的内接三角形,且是圆的直径。
(I)证明:平面平面
(II)设,在圆内随机选取一点,记该点取自三棱柱内的概率为
(i)当点在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)如果平面与平面所成的角为。当取最大值时,求的值。

解:(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以
因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面
平面,所以平面平面
(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为
=
又因为
所以=,当且仅当时等号成立,
从而,而圆柱的体积
=当且仅当,即时等号成立,
所以的最大值是
(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),0,r,2r),
因为平面,所以是平面的一个法向量,
设平面的法向量
,故
得平面的一个法向量为,因为
所以

解析

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