Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+2ax+3-b（a≠0，b＞0）在[0，3]上有最小值2，最大值17，函数g（x）=．

（l）求函数g（x）的解析式；

（2）证明：对任意实数m，都有g（m2+2）≥g（2|m|+l）；

（3）若方程g（|log2x-1|）+3k（-1）=0有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）只需要利用好所给的在区间[0，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；

（2）可判断g（x）在（0，+∞）上为增函数，又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0，即可判定；

（3）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．

解：（1）∵f（x）=ax2+2ax+3-b=a（x+1）2+3-a-b，故抛物线的对称轴为x=-1．

①当a＞0时，抛物线开口向上，∴f（x）在[0，3]上为增函数．

f（x）min=f（0）=3-b=2，f（x）max=f（3）=15a-b+3=17．

∴a=1，b=1

②当a＜0时，抛物线开口向下，f（x）在[0，3]上为减函数．

f（x）min=f（3）=15a-b+3=2，f（x）max=f（0）=3-b=17．

∴a=-1，b=-14．又b＞0，∴a=1，b=1符合题意

∴f（x）=x2+2x+2．g（x）=x-+2．

（2）证明：任取x2＞x1＞0，则g（x2）-g（x1）=（

∵x2-x1＞0，x1x2＞0．∴g（x2）-g（x1）＞0，．

故g（x）在（0，+∞）上为增函数．

又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0；

∴m2+2≥（2|m|+l）>0．∴g（m2+2）≥g（2|m|+l）．

（3）令t=|log2x-1|，则方程为g（t）+3k（-1）=0，即t-+2+3k（-1）=0

可化为t2+（2-3k）t+3k-2=0（△）．

因为当t>0时，t=|log2x-1|有两个x,

当t=0时，t=|log2x-1|有一个x，

当t<0时，t=|log2x-1|无解

当原方程有四个不同实数解时，关于t的（△）方程有两个不相等的正实根．

∴，即∴k＞2．

故实数k的取值范围为（2，+∞）．