Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（1）求 ；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将直线l与抛物线方程联立，解得P（ ，t），

∵M关于点P的对称点为N，

∴ = ， =t，

∴N（ ，t），

∴ON的方程为y= x，

与抛物线方程联立，解得H（ ，2t）

∴ = =2；

（2）

解：由（1）知kMH= ，

∴直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，

∴△=16t2﹣4×4t2=0，

∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．

【解析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用 = ，求 ；（2）直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．；本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．